Variance Rules

[Earlier this post had errors. Thanks Kevin. I was thinking sequentially instead of group-wise.  For correct reference, my mistake is corrected here. The overall conclusions have not changed.]

An interesting probability paradox from Futility Closet who credits Gábor J. Székely’s Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics via's Mark Chang’s Paradoxes in Scientific Inference.

Variance in a jury's judgement seems to be better than taking one person's word for it. As Futility Closet mentions:

Chang writes, “This paradox implies it is better to have your own opinion even if it is not as good as the leader’s opinion, in general.”

From Futility Closet consider:

"A, B, C, D, and E make up a five-member jury. They’ll decide the guilt of a prisoner by a simple majority vote. The probability that A gives the wrong verdict is 5%; for B, C, and D it’s 10%; for E it’s 20%. When the five jurors vote independently, the probability that they’ll bring in the wrong verdict is about 1%".

For such a 5 member juries the possibilities are: mistaken=1, correct=0:
 
A    B    C    D    E        P(A)    P(B)   P(C)   P(D)   P(E)   Product
1    0    0    0    0        0.05    0.9    0.9    0.9    0.8    0.02916
0    1    0    0    0        0.95    0.1    0.9    0.9    0.8    0.06156
0    0    1    0    0        0.95    0.9    0.1    0.9    0.8    0.06156
0    0    0    1    0        0.95    0.9    0.9    0.1    0.8    0.06156
0    0    0    0    1        0.95    0.9    0.9    0.9    0.2    0.13851
1    1    0    0    0        0.05    0.1    0.9    0.9    0.8    0.00324
1    0    1    0    0        0.05    0.9    0.1    0.9    0.8    0.00324
1    0    0    1    0        0.05    0.9    0.9    0.1    0.8    0.00324
1    0    0    0    1        0.05    0.9    0.9    0.9    0.2    0.00729
0    1    1    0    0        0.95    0.1    0.1    0.9    0.8    0.00684
0    1    0    1    0        0.95    0.1    0.9    0.1    0.8    0.00684
0    1    0    0    1        0.95    0.1    0.9    0.9    0.2    0.01539
0    0    1    1    0        0.95    0.9    0.1    0.1    0.8    0.00684
0    0    1    0    1        0.95    0.9    0.1    0.9    0.2    0.01539
0    0    0    1    1        0.95    0.9    0.9    0.1    0.2    0.01539
0    0    1    1    1        0.95    0.9    0.1    0.1    0.2    0.00171
0    1    0    1    1        0.95    0.1    0.9    0.1    0.2    0.00171
0    1    1    0    1        0.95    0.1    0.1    0.9    0.2    0.00171
0    1    1    1    0        0.95    0.1    0.1    0.1    0.8    0.00076
1    0    0    1    1        0.05    0.9    0.9    0.1    0.2    0.00081
1    0    1    0    1        0.05    0.9    0.1    0.9    0.2    0.00081
1    0    1    1    0        0.05    0.9    0.1    0.1    0.8    0.00036
1    1    0    0    1        0.05    0.1    0.9    0.9    0.2    0.00081
1    1    0    1    0        0.05    0.1    0.9    0.1    0.8    0.00036
1    1    1    0    0        0.05    0.1    0.1    0.9    0.8    0.00036
0    1    1    1    1        0.95    0.1    0.1    0.1    0.2    0.00019
1    0    1    1    1        0.05    0.9    0.1    0.1    0.2    0.00009
1    1    0    1    1        0.05    0.1    0.9    0.1    0.2    0.00009
1    1    1    0    1        0.05    0.1    0.1    0.9    0.2    0.00009
1    1    1    1    0        0.05    0.1    0.1    0.1    0.8    0.00004
1    1    1    1    1        0.05    0.1    0.1    0.1    0.2    0.00001

All those possibilities in red are mistaken coalitions with probability totaling:  0.00991.
[This is slightly smaller than the result originally posted which over-estimated this value as a comment suggested.]


From Futility Closet:

"But if E (whose judgment is poorest) abandons his autonomy and echoes the vote of A (whose judgment is best), the chance of an error rises to 1.5%".

In this situation juror E always agrees with juror A, so if A is included in a mistaken coalition it only needs two more jurors to form a simple majority. Of course A might not be included, then a mistaken coalition needs jurors B, C, and D. The possibilities and their probabilities are shown below:

A    B    C    D        P(A)    P(B)   P(C)   P(D)   Product
1    0    0    0        0.05    0.9    0.9    0.9    0.03645
0    1    0    0        0.95    0.1    0.9    0.9    0.07695
0    0    1    0        0.95    0.9    0.1    0.9    0.07695
0    0    0    1        0.95    0.9    0.9    0.1    0.07695
1    1    0    0        0.05    0.1    0.9    0.9    0.00405
1    0    1    0        0.05    0.9    0.1    0.9    0.00405
1    0    0    1        0.05    0.9    0.9    0.1    0.00405
0    1    1    0        0.95    0.1    0.1    0.9    0.00855
0    1    0    1        0.95    0.1    0.9    0.1    0.00855
0    0    1    1        0.95    0.9    0.1    0.1    0.00855
0    1    1    1        0.95    0.1    0.1    0.1    0.00095
1    0    1    1        0.05    0.9    0.1    0.1    0.00045
1    1    0    1        0.05    0.1    0.9    0.1    0.00045
1    1    1    0        0.05    0.1    0.1    0.9    0.00045
1    1    1    1        0.05    0.1    0.1    0.1    0.00005

All those possibilities in red are mistaken coalitions with probability totaling:  0.0145.
[This is slightly smaller than the result originally posted as a comment suggested.]
Again from Futility Closet:

"Even more surprisingly, if B, C, D, and E all follow A, then the chance of a bad verdict rises to 5%, five times worse than if they vote independently, even though A is nominally the best leader".

Variance is good!